Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta!

Zanim jednak przejdziemy do głębszego zapoznania się z tematem należało by odpowiedzieć sobie na jedno ważne pytanie :
Co to w ogóle są funkcje trygonometryczne?

Z definicji wytarganej rodem z Wikipedii odpowiedź brzmiała by tak :
 Funkcje trygonometryczne – funkcje matematyczne wyrażające między innymi stosunki  między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego katów wewnętrznych

Co ukazuje ten znany wam już obrazek ==>



Jednak w tym dziale sprawa zaczyna nieco bardziej się komplikować. Po pierwsze trzeba przyzwyczaić się do tego iż wartości kąta zwiększają się - teraz to już nie tylko sinus z 30º , 60º czy nawet 90º teraz to nawet z  789º  ( o zgrozo) będziemy wyliczać. Ale spokojnie to nie jest takie trudne.
  Matematycy dla ułatwienia sobie tej sprawy umieszczają kąt w układzie współrzędnych - Przykład

 I co teraz ?
   Rozwiązanie wygląda tak

Jeśli już tutaj się gubicie - spójrzcie na pierwszy obrazek i sobie przeanalizujcie po co potrzebny jest promień i jak to się ma do reszty.
 W zadaniu warto zauważyć że wykonano je jakby pominięto 90º - Dlaczego? - stop !! Nie do końca pominięto - skąd wzięły się te minusy? no właśnie z ćwiartki w której się znajdują (=  między innymi z tego powodu wepchnięcie kąta do układu współrzędnych jest pomocne !

 Tutaj wierszyk nauczycielki

 "W pierwszej ćwiartce same plusy w drugiej tylko sinus,

w trzeciej tangens i cotangens a w czwartej cosinus."

Tutaj warto sobie przeanalizować poniższą tabelkę

 

 W tabelce warto zauważyć co takiego się zmienia po kolejnych 90º co łatwo zapamiętacie jeśli rozróżniacie wykresy poszczególnych funkcji tu na obrazku (chyba nie muszę wam mówić =P) wykres sinusoidy. Jednak tu trochę wyprzedzam. Powracając do obliczania kątów: rady jakich trzeba się trzymać:
 - po pierwsze przy nie wiadomo jak wielkich kątach pomijamy wszystkie kąty pełne czyli 360º
- po drugie nie zapominamy o ćwiartce w której się znajduje co dotyczy też kątów ujemnych ( w których znak w poszczególnych ćwiartkach nie zmienia się).
-Dodatkowo wartości w 2 i 4 ćwiartce są odwrotne do normalnych tzn że jeżeli sinus wynosi 100 stopni to pomijając 90 zostaje nam 10º - a ponieważ jest w drugiej ćwiartce podajemy tak naprawdę wartość kąta dopełniającego czyli 80º. Sinus w drugiej ćwiartce jest na plusie więc nie dokładamy minusa (;. Jeszcze dla przykładu cos212ºczyli odejmujemy dwa kąty proste ( 180º) pozostaje nam 32º  ponieważ jest to ćwiartka czwarta wartości są odwrotne czyli tak naprawdę bierzemy 58º (bo 90º -32º) ponieważ cosinus w czwartej akurat jest na plusie pozostawiamy takiego jakim jest. 

- jeżeli jednak sinusa obliczamy na podstawie punktu nie wolno nam zmieniać wartości na przeciwne to się tyczy tylko gdy robimy na stopniach - tam wzory:
sin =y:r
cos =x:r
tg = y:x
ctg =x:y
działają jak należy ! (=


 Dla rozluźnienia :
Na wycieczkę pojechało dzieci i π nauczycieli.

Typowa odpowiedź zadania z matematyki